Matemática básica Ejemplos

$93000 = 20000 ((\frac{{(1 + 0.02)}^{n + 1} - 1}{0.02}) - 1)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $20000 (\frac{{(1 + 0.02)}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$ .

$20000 (\frac{{(1 + 0.02)}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$

Paso 2

Suma $1$ y $0.02$ .

$20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$

Paso 3

Divide cada término en $20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$ por $20000$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1) = 93000$ por $20000$ .

$\frac{20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1)}{20000} = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $20000$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20000 (\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1)}{20000} = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.1.2

Divide $\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1$ por $1$ .

$\frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{1 \cdot {1.02}^{n + 1} - 1}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $- 1$ como $1 (- 1)$ .

$\frac{1 \cdot {1.02}^{n + 1} + 1 (- 1)}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $1$ de $1 \cdot {1.02}^{n + 1} + 1 (- 1)$ .

$\frac{1 \cdot ({1.02}^{n + 1} - 1)}{0.02} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.2.4

Factoriza $0.02$ de $0.02$ .

$\frac{1 \cdot ({1.02}^{n + 1} - 1)}{0.02 (1)} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.2.5

Separa las fracciones.

$\frac{1}{0.02} \cdot \frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.2.6

Divide $1$ por $0.02$ .

$50 \frac{{1.02}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.2.7

Divide ${1.02}^{n + 1} - 1$ por $1$ .

$50 ({1.02}^{n + 1} - 1) - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} + 50 \cdot - 1 - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.2.9

Multiplica $50$ por $- 1$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 50 - 1 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.2.3

Resta $1$ de $- 50$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{93000}{20000}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $93000$ y $20000$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $1000$ de $93000$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{1000 (93)}{20000}$

Paso 3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.1.2.1

Factoriza $1000$ de $20000$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{1000 \cdot 93}{1000 \cdot 20}$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{1000 \cdot 93}{1000 \cdot 20}$

Paso 3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} - 51 = \frac{93}{20}$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Suma $51$ a ambos lados de la ecuación.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93}{20} + 51$

Paso 4.2

Para escribir $51$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{20}{20}$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93}{20} + 51 \cdot \frac{20}{20}$

Paso 4.3

Combina $51$ y $\frac{20}{20}$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93}{20} + \frac{51 \cdot 20}{20}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93 + 51 \cdot 20}{20}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $51$ por $20$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{93 + 1020}{20}$

Paso 4.5.2

Suma $93$ y $1020$ .

$50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20}$

Paso 5

Divide cada término en $50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20}$ por $50$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $50 \cdot {1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20}$ por $50$ .

$\frac{50 \cdot {1.02}^{n + 1}}{50} = \frac{\frac{1113}{20}}{50}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $50$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{50 \cdot {1.02}^{n + 1}}{50} = \frac{\frac{1113}{20}}{50}$

Paso 5.2.1.2

Divide ${1.02}^{n + 1}$ por $1$ .

${1.02}^{n + 1} = \frac{\frac{1113}{20}}{50}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20} \cdot \frac{1}{50}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{1113}{20} \cdot \frac{1}{50}$ .

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $\frac{1113}{20}$ por $\frac{1}{50}$ .

${1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{20 \cdot 50}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $20$ por $50$ .

${1.02}^{n + 1} = \frac{1113}{1000}$

Paso 6

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.02}^{n + 1}) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Paso 7

Expande $\ln ({1.02}^{n + 1})$ ; para ello, mueve $n + 1$ fuera del logaritmo.

$(n + 1) \ln (1.02) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Paso 8

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1

Simplifica $(n + 1) \ln (1.02)$ .

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Paso 8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$n \ln (1.02) + 1 \ln (1.02) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Paso 8.1.2

Multiplica $\ln (1.02)$ por $1$ .

$n \ln (1.02) + \ln (1.02) = \ln (\frac{1113}{1000})$

Paso 9

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$n \ln (1.02) + \ln (1.02) - \ln (\frac{1113}{1000}) = 0$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02}{\frac{1113}{1000}}) = 0$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$n \ln (1.02) + \ln (1.02 (\frac{1000}{1113})) = 0$

Paso 11.2

Multiplica $1.02 (\frac{1000}{1113})$ .

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Paso 11.2.1

Combina $1.02$ y $\frac{1000}{1113}$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02 \cdot 1000}{1113}) = 0$

Paso 11.2.2

Multiplica $1.02$ por $1000$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{1020}{1113}) = 0$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $1020$ y $1113$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $3$ de $1020$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{3 (340)}{1113}) = 0$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $3$ de $1113$ .

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{3 \cdot 340}{3 \cdot 371}) = 0$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{3 \cdot 340}{3 \cdot 371}) = 0$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$n \ln (1.02) + \ln (\frac{340}{371}) = 0$

Paso 12

Resta $\ln (\frac{340}{371})$ de ambos lados de la ecuación.

$n \ln (1.02) = - \ln (\frac{340}{371})$

Paso 13

Divide cada término en $n \ln (1.02) = - \ln (\frac{340}{371})$ por $\ln (1.02)$ y simplifica.

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Paso 13.1

Divide cada término en $n \ln (1.02) = - \ln (\frac{340}{371})$ por $\ln (1.02)$ .

$\frac{n \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Paso 13.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1.02)$ .

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Paso 13.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Paso 13.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{- \ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Paso 13.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$n = - \frac{\ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$n = - \frac{\ln (\frac{340}{371})}{\ln (1.02)}$

Forma decimal:

$n = 4.40630648 \dots$